Los matemáticos sobresalen en la teoría geométrica del movimiento

«[Floer] La teoría de la homología depende únicamente de la topología de su diversidad. [This] «Es la increíble perspicacia de Floer», dijo. Agustín Moreno Instituto de formación avanzada.

Dividir entre cero

La teoría de Flora eventualmente se volvió muy útil en muchas áreas de geometría y topología, incluyendo simetría del espejo Estudio de nodos.

«Es la herramienta principal del tema», dijo Manolescu.

Pero la teoría de Flor no resolvió completamente la suposición de Arnold, porque el método de Flor funcionó en un solo tipo de diversidad. Durante las próximas dos décadas, las geometrías simétricas se practicaron un esfuerzos masivos de la comunidad para superar este obstáculo. Eventualmente, el trabajo condujo a la prueba de la hipótesis de Arnold de que la homología se calcula usando números racionales. Pero eso no resolvió la suposición de Arnold de que los agujeros se cuentan a través de otros sistemas numéricos, como los números cíclicos.

La razón por la que el trabajo no se ha extendido a los sistemas digitales cíclicos es que la prueba consiste en dividir un objeto particular por el número de simetrías. Esto siempre es posible con números racionales. Pero en el caso de los números cíclicos, la división es más complicada. Si el sistema numérico rota después de cinco, contando 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, entonces los números 5 և 10 son ambos equivalentes a cero. (Esto es como 13:00 es lo mismo que 13:00). Como resultado, dividir por 5 en este parámetro es lo mismo que dividir por cero, lo cual está prohibido en matemáticas. Estaba claro que alguien tenía que desarrollar nuevas herramientas para sortear este problema.

«Si alguien me preguntara cuáles son los problemas técnicos que están obstaculizando el desarrollo de la teoría de Florler, lo primero que me viene a la mente es el hecho de que tenemos que hacer estas declaraciones», dijo Abuzayd.

Para expandir la teoría de Flora, para probar la hipótesis de Arnold en números cíclicos, Abuzayd y Bloomberg tuvieron que mirar más allá de la homología.

Escalando la Torre del Topólogo

Los matemáticos suelen pensar en la homología como el resultado de aplicar una receta específica a un caballo. Durante el siglo XX, los topólogos comenzaron a estudiar la homología en sus propios términos, independientemente del proceso de su creación.

«No pensemos en la receta. Pensemos en lo que sale de la receta. ¿Qué estructura, qué características tenía este grupo homólogo?”. dijo Abuzaid.

Los topólogos han buscado otras teorías que satisfagan las mismas propiedades básicas que la homología. Estas se conocieron como teorías de homología generalizadas. En el centro de la homología, los topólogos han construido una torre de teorías de homología generalizadas más complejas que pueden usarse para clasificar espacios.

La homología floral refleja la teoría de la homología del primer piso. Sin embargo, las geometrías aclaradas se han estado preguntando durante mucho tiempo si es posible desarrollar versiones de Flora de teorías topológicas más arriba en la torre. teorías que relacionan la homología generalizada con las características específicas del espacio en un entorno infinitamente dimensional, como lo hizo la teoría original de Flor.

Floyer nunca tuvo la oportunidad de probar este trabajo por su cuenta, muriendo en 1991 a la edad de 34 años. Pero los matemáticos continuaron buscando formas de expandir sus ideas.

Definición comparativa de una nueva teoría

Ahora, después de casi cinco años de trabajo, Abuzaid և Bloomberg ha hecho realidad esta visión. Su nuevo artículo está desarrollando la versión Flora de Morava K:– una teoría que luego usan para probar la hipótesis de Arnold para los sistemas digitales cíclicos.

«En cierto sentido, esto completa un marco para nosotros que está completamente conectado con el trabajo original de Flor», dijo Keating.